Question

【题目】在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．

（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，

取AC中点O，连接BO，DO，

则BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC

∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，

那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，

∴∠EBF=60°，∴EF=DO= ，

所以四边形DEFO是平行四边形，DE∥OF；

∵DE平面ABC，OF平面ABC，∴DE∥平面ABC

（2）解：方法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接FG；

∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC，

∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，

BF= = ，

∵FG=BFsin∠FBG= ，EF= ，

∴EG= = ，

∴cos∠EGF= = ，

即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为 ．

方法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，

可求得平面ABC的一个法向量为 ，

平面BCE的一个法向量为

所以 =

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为 ．

【解析】（1）证明线面平行，需要证明直线平行面内的一条直线即可．（2）法一：利用三垂线定理作出二面角的平面角即可求解．法二：建立空间直角坐标系，利用向量法求解
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．