Question

14．已知关于x的方程2x²-（$\sqrt{3}+1$）x+m=0的两根sinθ和cosθ，θ∈（0，2π），求
（1）$\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$的值；
（2）实数m的值．
（3）方程的两根及此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用韦达定理可得sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，化简要求的式子为cosθ+sinθ，从而得出结论．
（2）把sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，平方可得sinθcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．再根据韦达定理sinθ•cosθ=$\frac{m}{2}$，可得m的值．
（3）把m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入方程，整理得：4x²-2（$\sqrt{3}$+1）x+$\sqrt{3}$=0，解得：x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=$\frac{1}{2}$，可得sinθ和cosθ的值，从而求得θ的值．

解答 解：（1）由条件利用韦达定理可得sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴$\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{{cos}^{2}θ}{cosθ-sinθ}$=$\frac{cos2θ}{cosθ-sinθ}$=cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
（2）把sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，平方可得sinθcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
再根据韦达定理sinθ•cosθ=$\frac{m}{2}$，可得m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）把m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入方程得：2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，
整理得：4x²-2（$\sqrt{3}$+1）x+$\sqrt{3}$=0，
解得：x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=$\frac{1}{2}$，可得sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$；或sinθ=$\frac{1}{2}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{6}$．

点评 笨题主要考查韦达定理，同角三角函数基本关系的运用，三角恒等变换，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．