Question

10．已知函数f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx+2，记函数f（x）的最小正周期为β，向量$\overrightarrow a=（2，cosα）$，$\overrightarrow b=（1，tan（α+\frac{β}{2}））$，$（0＜α＜\frac{π}{4}）$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{7}{3}$
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求$\frac{{2{{cos}^2}α-sin2（α+β）}}{cosα-sinα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用辅助角公式求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间．
（2）由条件利用 两个向量的数量积公式求得sinα 的值，可得 cosα 的值，再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得要求式子的值．

解答 解：（1）函数f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx+2=2sin（x-$\frac{π}{3}$），故函数f（x）的最小正周期为β=2π．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，故函数f（x）的减区间为[2kπ+$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{11π}{6}$]，k∈Z．
（2）由向量$\overrightarrow a=（2，cosα）$，$\overrightarrow b=（1，tan（α+\frac{β}{2}））$，$（0＜α＜\frac{π}{4}）$，且 $\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{7}{3}$=2+cosα•tan（α+π）=2+sinα，
可得sinα=$\frac{1}{3}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{{2{{cos}^2}α-sin2（α+β）}}{cosα-sinα}$=$\frac{{2cos}^{2}α-sin2α}{cosα-sinα}$=$\frac{2cosα（cosα-sinα）}{cosα-sinα}$=2cosα=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两个向量的数量积公式、诱导公式、辅助角公式，正弦函数的单调性，属于中档题．