Question

8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象在y轴右侧的第一个最高点为P（$\frac{1}{3}$，2），在y轴右侧与x轴的第一个交点为R（$\frac{5}{6}$，0）．
（1）求函数y的解析式；
（2）已知方程f（x）-m=0在区间[-$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}$]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得A，$\frac{T}{4}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$，由周期公式可求ω，将点P（$\frac{1}{3}$，2）代入解析式，解得φ，从而可求函数y的解析式．
（2）由$x∈[{-\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}]$，可求得$（{πx+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$，从而可求$f（x）∈[{-\sqrt{3}，2}]$，方程f（x）-m=0即m=f（x）在[-$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}$]有解，由正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题12分）
解：（1）由题意，A=2，$\frac{T}{4}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$，所以T=2，
故$\frac{2π}{ω}=2$，解得ω=π，所以f（x）=2sin（πx+φ），
将点P（$\frac{1}{3}$，2），代入上式，解得$φ=\frac{π}{6}$，
所以，$f（x）=2sin（{πx+\frac{π}{6}}）$．
（2）因为$x∈[{-\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}]$，所以$（{πx+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$，
此时，$sin（{πx+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$，故$f（x）∈[{-\sqrt{3}，2}]$，
方程f（x）-m=0即m=f（x）在[-$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}$]有解，所以$m∈[{-\sqrt{3}，2}]$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．