Question

10．设f（x）=|x-1|-|x+3|
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若不等式f（x）≤kx+1在x∈[-3，-1]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，解不等式f（x）＞2即可；
（2）由于不等式f（x）≤kx+1在x∈[-3，-1]上恒成立，可得-2x-2≤kx+1在x∈[-3，-1]上恒成立，分离参数求最小值即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-1|-|x+3|，
∴x≤-3时，f（x）=-x+1+x+3=4＞2，∴x≤-3；
-3＜x＜1时，f（x）=-x+1-x-3=-2x-2＞2，∴x＜-2，∴-3＜x＜-2；
x≥1时，f（x）=x-1-x-3=-4＞2，不成立．
综上，不等式的解集为{x|x＜-2}；
（2）x∈[-3，-1]时，f（x）=-x+1-x-3=-2x-2，
由于不等式f（x）≤kx+1在x∈[-3，-1]上恒成立，
∴-2x-2≤kx+1在x∈[-3，-1]上恒成立，
∴k≤-2-$\frac{3}{x}$
∵g（x）=-2-$\frac{3}{x}$在x∈[-3，-1]上为增函数，∴-1≤g（x）≤1
∴k≤-1．

点评 熟练掌握分类讨论方法解含绝对值符号的不等式、恒成立问题等价转化方法等是解题的关键．