Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，其右准线上l上存在点A（点A在x轴上方），使△AF₁F₂为等腰三角形．
（1）求离心率e的范围；
（2）若椭圆上的点(1，

2

2

)到两焦点F₁，F₂的距离之和为2

2

，求△AF₁F₂的内切圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意有F1(-c，0)，F2(c，0)，l：x=

a2

c

．设A(

a2

c

，y0)，由△AF₁F₂为等腰三角形，则只能是F₁F₂=F₂A，又F2A＞

a2

c

-c，由此能得到离心率e的范围．
（2）由题意得椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，其离心率为

2

2

＞

3

3

，此时F₁（-1，0），F₂（1，0），l：x=2．
由F₁F₂=F₂A，可得y0=

3

，设内切圆的圆心B（x₁，y₁），AF1：x-

3

y+1=0，BF2：y=-

3

(x-1)，
因为△AF₁F₂为等腰三角形，所以△AF₁F₂的内切圆的圆心点B到AF₁的距离等于点B到x轴的距离，由此能求出△AF₁F₂的内切圆的方程．

解答：解：（1）由题意有F1(-c，0)，F2(c，0)，l：x=

a2

c

．（2分）
设A(

a2

c

，y0)，由△AF₁F₂为等腰三角形，则只能是F₁F₂=F₂A，又F2A＞

a2

c

-c，
即2c＞

a2

c

-c，所以

3

3

＜e＜1．（6分）
（2）由题意得椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，其离心率为

2

2

＞

3

3

，此时F₁（-1，0），F₂（1，0），l：x=2．
由F₁F₂=F₂A，可得y0=

3

．（10分）
设内切圆的圆心B（x₁，y₁），AF1：x-

3

y+1=0，BF2：y=-

3

(x-1)，
因为△AF₁F₂为等腰三角形，所以△AF₁F₂的内切圆的圆心点B到AF₁的距离等于点B到x轴的距离，即

-x1+ 3 y1-1

2

=y1，①
由点B在直线BF₂上，所以y1=-

3

(x1-1)，②
由①②可得

x1= 3 -1 y1=2 3 -3

所以△AF₁F₂的内切圆的方程为(x+1-

3

)2+(y+3-2

3

)2=(2

3

-3)2．（16分）

点评：本题考查椭圆的性质和应用，在解题时亦可先用面积求出半径，再求圆的方程．