题目内容
19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,B E平分∠A BC交 AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB,且${A}D=2\sqrt{3}$,AE=6.(I)判断直线 AC与△BDE的外接圆的位置关系并说明理由;
(II)求EC的长.
分析 (I)取BD的中点0,连结OE,如图,由∠BED=90°,根据圆周角定理可得BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心,再证明OE∥BC,得到∠AEO=∠C=90°,于是可根据切线的判定定理判断AC是△BDE的外接圆的切线;
(II)设⊙O的半径为r,根据勾股定理得${({r+2\sqrt{3}})^2}={r^2}+{6^2}$,解得r=2$\sqrt{3}$,根据平行线分线段成比例定理,由OE∥BC得$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AO}{OB}$,然后根据比例性质可计算出EC.
解答 解:(I)取BD的中点0,连结OE,如图,
∵DE⊥EB,
∴∠BED=90°,
∴BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心,
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠OBE,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OEB=∠CBE,
∴OE∥BC,
∴∠AEO=∠C=90°,
∴OE⊥AE,
∴AC是△BDE的外接圆的切线.
(II)设△BDE的外接圆的半径为r.
在△AOE中,OA2=OE2+AE2,即${({r+2\sqrt{3}})^2}={r^2}+{6^2}$,解得$r=2\sqrt{3}$,
∵OE∥BC,
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AO}{OB}$,即$\frac{6}{CE}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$,
∴CE=3.
点评 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理.
练习册系列答案
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