Question

15．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）．
（1）若函数f（x）的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞），求实数a的值；
（2）若函数f（x）的定义域为R，值域为（-∞，-1]，求实数a的值；
（3）若函数f（x）在（-∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由题目可知f（x）为对数型函数，因此真数位置上的部分大于零
（1）由函数定义域可以求的真数位置二次函数的两根与系数的关系，从而求得参数a的值；
（2）由函数的定义域可以得到真数位置二次函数的判别式与零的大小关系，根据值域求得参数a的值；
（3）由函数的f（x）的单调性可以求得真数位置二次函数的单调性，以此求得参数a的取值范围．

解答 （1）令u（x）=x²-2ax+3，
由题意，对于函数u（x），其对称轴x=$\frac{-2a}{-2}=\frac{1+3}{2}=2$，
即a=2．
（2）由题意，对于函数u（x），
△=（-2a）²-4×1×3＜0，即$-\sqrt{3}＜a＜\sqrt{3}$，
由函数f（x）的值域可得当x=$\frac{-2a}{-2}$=a时，有f（a）=-1，
解得a=1或-1．
（3）函数f（x）在（-∞，1]上为增函数，
则u（x）在（-∞，1]上为减函数，
所以对于函数u（x），有对称轴x=a≥1，
并且当x=1时，有f（x）_min=f（1）=1-2a+3＞0，
即a＜2，
所以a的取值范围是1≤a＜2．

点评 此类问题为复合型函数的定义域问题，要分层讨论，先讨论内层函数的性质，再讨论外层函数的性质．切不可大意这样的题目．