Question

17．定义茬（-1，1）上的函数f（x）满足，①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$）；②x∈（-1，0）时f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）证明f（x）满足f（-x）=-f（x）；
（3）若 f（$\frac{1}{2}$）=-1，f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法研究函数f（x）的性质，令x=y=0得，f（0）=0，
（2）再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以该函数是奇函数；
（3）判断函数的单调性，将恒成立问题进行转化，建立关于以a为主变量的函数，进行求解即可．

解答 解：（1）由已知令x=y=0代入f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），得，f（0）=0；
（2）再令y=-x，得f（-x）=-f（x），则该函数是奇函数，
即f（x）满足f（-x）=-f（x）；
（3）∵该函数是奇函数，
∴由f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），
得$f（x）-f（y）=f（\frac{x-y}{1-xy}）$，
设-1＜x＜y＜1，则-2＜x＜0，xy＜1，1-xy＞0，则$\frac{x-y}{1-xy}＜0$，
又$\frac{x-y}{1-xy}+1=\frac{x-y+1-xy}{1-xy}=\frac{（1-y）（1+x）}{1-xy}＞0$，
所以$-1＜\frac{x-y}{1-xy}＜0$，
若$f（\frac{x-y}{1-xy}）＞0$，则$f（x）-f（y）=f（\frac{x-y}{1-xy}）$＞0，有f（x）＞f（y），此时函数为减函数，
则当x∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，函数f（x）的最大值为f（$-\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=1，
若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，a∈[-1，1]恒成立，
则等价为1≤t²-2at+1对a∈[-1，1]恒成立，
即t²-2at≥0，
设g（a）=t²-2at=-2ta+t²，
∵对a∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t≥0}\\{{t}^{2}+2t≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{t≥2或t≤0}\\{t≥0或t≤-2}\end{array}\right.$，
解得t≥2或t=0．

点评 本题考查了抽象函数的应用，考查了特值思想，解答此题的关键是把x，y取特值后灵活变形，考查了学生的观察能力和灵活解决问题的能力，此题是中档题．