题目内容

椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）与x轴，y轴的正半辆分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为 $数学公式$ ，该椭圆的离心率为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点 $数学公式$ 的直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，求线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围．

解：（Ⅰ）设直线AB的方程为bx+ay-ab=0
∵原点O到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ①
∵椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ②
由①②可得：a=2，b=1
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，线段MN的垂直平分线的纵截距为0
当直线斜率k存在时，设直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ ，消去y得（9+36k²）x²+120kx+64=0
∵△=14400k²-256（9+36k²）＞0，∴ $\text{[math]}$
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为Q（x₀，y₀）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴Q $\text{[math]}$
∴线段MN的垂直平分线方程为 $\text{[math]}$
令x=0，则y= $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，可得- $\text{[math]}$
∴线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设直线AB的方程为bx+ay-ab=0，利用原点O到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ ，椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，建立方程可求a、b的值，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，线段MN的垂直平分线的纵截距为0；当直线斜率k存在时，设直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，代入 $\text{[math]}$ ，消去y得（9+36k²）x²+120kx+64=0，进而可求线段MN的垂直平分线方程，由此即可求得线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围．
点评：本题综合考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是确定线段MN的垂直平分线．