Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和BC的中点，试问在棱DD₁上能否找到一点M，使BM⊥平面B₁EF，若能，试确定点M的位置；若不能，说明理由.

Answer 1

解析:如图,以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则B（1,1，0），B₁（1,1，1），E（1，，0），F（，1,0），设M（0,0，t），

于是=(-1,-1,t),=（-,，0）,B₁E=(0,- ,-1)，·=（-1,-1,t）·(-,,0)= -=0,

∴BM⊥EF恒成立.要使BM⊥平面B₁EF，只需BM⊥B₁E，即=0.而=(-1,-1,t)·(0,- ,-1)= -t=0,∴t=.故当M是DD₁的中点时，BM⊥平面B₁.