Question

【题目】已知函数是定义在R上的奇函数.

（1）判断并证明在上的单调性.

（2）若对任意实数t,不等式恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先利用函数的奇偶性求出，判断f(x)在(∞,+∞)上是减函数，再利用函数单调性的定义证明函数在上的单调递减.（2）先化简不等式为f(kt2kt)<f(2kt)=f(kt2)，再利用函数的单调性得kt2kt>kt2，再分析得解.

(1)由于定义域为R的函数是奇函数，

则,解得，经检验成立；

判断函数f(x)在(∞,+∞)上是减函数。

证明：设任意x1<x2，

f(x1)f(x2)=，

由于x1<x2,则2x1<2x2,则有f(x1)>f(x2)，

故f(x)在(∞,+∞)上是减函数；

(2)不等式f(kt2kt)+f(2kt)<0，

由奇函数f(x)得到f(x)=f(x)，

f(kt2kt)<f(2kt)=f(kt2)，

再由f(x)在(∞,+∞)上是减函数，

则kt2kt>kt2,即有kt22kt+2>0对t∈R恒成立，

∴k=0或k>0且△=4k28k<0即有k=0或0<k<2，

综上：0k<2.