题目内容

下列说法中：
①若定义在R上的函数f（x）满足f（2）＞f（1），则函数f（x）在R上不是单调减函数；
②定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，1]上是单调减函数，在区间（1，+∞）上也是单调减函数，
则函数f（x）在R上是单调减函数；
③对于定义在R上的函数f（x），若f（-2）=f（2），则f（x）不可能是奇函数；
④f（x）=
2013-x2
+
x2-2013
既是奇函数又是偶函数．
其中正确说法的序号是
①④
①④
．
分析：①转化为其等价命题判断；②③举反例；④利用奇偶函数的定义判断．
解答：解：对于①，等价于“若f（x）在R上是单调减函数，则函数f（x）满足f（2）≤f（1）”，显然是真命题；
对于②，给出函数f（x）=
-x，x≤1
1
x
，x＞1
，在区间（-∞，1]上是单调减函数，在区间（1，+∞）上也是单调减函数，
但函数f（x）在R上不单调，故②为假命题；
对于③，给出函数y=x3-4x，满足f（-2）=f（2），但f（x）是奇函数，说明③是假命题；
对于④，由
x2≤2013
x2≥2013
，得x=±
2013
，定义域为{-
2013
，
2013
}，关于原点对称，
且f（x）=0，满足f（-x）=-f（x）及f（-x）=f（x），故④为真命题；
故答案为：①④．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．
练习册系列答案
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下列说法中正确的命题代号为
 
．
①f（x）为奇函数，则f（0）=0；
②定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数；
③a，b，c都是不等于1的正数且ab≠1，则alogcb=blogca；
④定义在R上的函数f（x）若f（2）≠f（-2），则函数f（x）不是偶函数．
设定义在R上的函数f(x)=
1
|x+3|
    x≠-3
1           x=-3
，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有3个不同实数解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列说法中错误的是（　　）
下列说法中：
①若f（x）=ax2+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）表示-2x+2与-2x2+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；
③若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=-6；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．
其中正确说法的序号是
①③④
①③④
（注：把你认为是正确的序号都填上）．
下列说法中：
①函数f(x)=
x-1
x+1
与g（x）=x的图象没有公共点；
②若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），则6为函数f（x）的周期；
③若对于任意x∈（1，3），不等式x2-ax+2＜0恒成立，则a＞
11
3
；
④定义：“若函数f（x）对于任意x∈R，都存在正常数M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，则称函数f（x）为有界泛函．”由该定义可知，函数f（x）=x2+1为有界泛函．
则其中正确的个数为
3
3
．
（2011•新疆模拟）设定义在R上的函数f(x)=
1
|x-2|
    (x≠2)
1              (x=2)
，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有三个不同实数解，x1，x2，x3，
且x1＜x2＜x3，则下列说法中正确的是（　　）

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