题目内容
已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
)=1．给出下列结论：f(
)=
；②f（x）为奇函数；③f（x）为周期函数；④f（x）在（0，x）内单调递减．其中正确的结论序号是（ ）
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| A、②③ | B、②④ | C、①③ | D、①④ |
分析：令x=y=
可求出f（
）的值，得知①不对排除CD．由x=
可知f（x）在（0，x）内单不是调递减排除B．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
解答：解：令x=y=
，根据f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(
)=1．
∴f(
)+f(0)=2f(
) •
∴f(
)=
故①不对
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy
令x=0，则
f（y）+f（-y）=f（0）cosy=0
f（-y）=-f（y）
所以f（x）是奇函数 故②对．
令x=
，由f（0）=0，f（
）=1知④不对
故选A．
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴f(
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy
令x=0，则
f（y）+f（-y）=f（0）cosy=0
f（-y）=-f（y）
所以f（x）是奇函数 故②对．
令x=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
故选A．
点评：本题主要考查抽象函数的有关问题．抽象函数值、单调性、周期性、奇偶性经常是考查重点．
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