题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠ABC=120°.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F. (Ⅰ)求证:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=PD=AD=2,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值.

【答案】证明:(Ⅰ)∵底面ABCD是菱形,∴AB∥CD, 又∵AB面PCD,CD面PCD,∴AB∥面PCD
又∵A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,
∴AB∥EF
解:(Ⅱ)取AD中点G,连接PG,GB,
∵PA=PD,∴PG⊥AD,
又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD
∴PG⊥GB,在菱形ABCD中,∵AB=AD,∠DAB=60°,G是AD中点,∴AD⊥GB,
如图,以G为原点,GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G﹣xyz
由PA=PD=AD=2得,G(0,0,0),A(1,0,0),
,D(﹣1,0,0),
又∵AB∥EF,点E是棱PC中点,∴点F是棱PD中点,

设平面AFE的法向量为
则有 ,∴
不妨令x=3,则平面AFE的一个法向量为
∵BG⊥平面PAD,∴ 是平面PAF的一个法向量,

∴平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值为:


【解析】(Ⅰ)推导出AB∥CD,从而AB∥面PCD,由此能证明AB∥EF.(Ⅱ)取AD中点G,连接PG,GB,以G为原点,GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G﹣xyz,利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值.
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点,需要掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点才能正确解答此题.

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