Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长是

3

，侧棱长是3，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求证：A₁C⊥面AEF；
（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C，证明AE⊥A₁C，AF⊥A₁C，利用直线与平面垂直的判定定理证明A₁C⊥面AEF；
（2）如图说明∠NAO=θ就是截面AEF与底面ABCD所成二面角θ，通过解三角形，求出AC，BE，即可求解θ的正切值．

解答：证明：（1）连接A₁C
正四棱柱⇒CB⊥平面ABB₁A₁⇒CB⊥AE
又∵AE⊥A₁B
∴AE⊥平面A₁BC⇒AE⊥A₁C
同理可得：AF⊥A₁C
∴A₁C⊥平面AEF
（2）∵AE⊥A₁B⇒Rt△ABA₁∽Rt△ABE⇒∠ABA₁=∠BEA，
如图EF的中点为N，AC 的中点为O，连结NO，则∠NAO=θ，
又   底面边长是

3

，侧棱长是3
∴tan∠ABA1=

3

，∠ABA1=

π

3

得   ∠EAB=

π

6

，BE=1
同理     DF=1
又  AC=

6

，
∴tanθ=

BE

1 2 AC

=

2

6

=

6

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．