Question

6．计算：${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx=$\frac{π-2}{4}$．

Answer 1

分析 先利用定积分的几何意义计算${∫}_{0}^{1}\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx，即求被积函数y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$与直线x=0，x=1所围成的图形的面积即可，再求出${∫}_{0}^{1}$（-x）dx，问题得以解决．

解答 解：由定积分的几何意义知${∫}_{0}^{1}\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx是由y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$与直线x=0，x=1所围成的图形的面积，
即是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的$\frac{1}{4}$，
故${∫}_{0}^{1}\sqrt{2x-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
${∫}_{0}^{1}$（-x）dx=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$${|}_{0}^{1}$=$-\frac{1}{2}$，
∴${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{2x-{x}^{2}}$-x）dx=$\frac{π-2}{4}$．
故答案为：$\frac{π-2}{4}$．

点评 本题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．