Question

14．在△ABC中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinA，1），$\overrightarrow{b}$=（cosA，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，0＜A＜$\frac{π}{2}$．
（1）若sin（ω-A）=$\frac{3}{5}$，0$＜ω＜\frac{π}{2}$，求cosω的值；
（2）若BC=2$\sqrt{3}$，AB+AC=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求得tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A=$\frac{π}{6}$．根据sin（ω-A）=$\frac{3}{5}$，求得cos（ω-A）=$\frac{4}{5}$，从而求得cosω=cos[（ω-A）+A]的值．
（2）由条件利用余弦定理求得AB•AC=$\frac{4}{2+\sqrt{3}}$，可得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA 的值．

解答 解：（1）△ABC中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinA，1），$\overrightarrow{b}$=（cosA，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，∴$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A=$\frac{π}{6}$．
∵sin（ω-A）=$\frac{3}{5}$，0$＜ω＜\frac{π}{2}$，∴cos（ω-A）=$\frac{4}{5}$，
∴cosω=cos[（ω-A）+A]=cos（ω-A）cosA-sin（ω-A）sinA=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．
（2）若BC=2$\sqrt{3}$，AB+AC=4，∴AC=4-2$\sqrt{3}$，再根据A=$\frac{π}{6}$，
利用余弦定理可得 BC²=12=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=（AB+AC）²-2•AB•AC（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=16-AB•AC•（2+$\sqrt{3}$），
求得AB•AC=$\frac{4}{2+\sqrt{3}}$=4（2-$\sqrt{3}$），
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA=$\frac{1}{2}$•4（2-$\sqrt{3}$）•$\frac{1}{2}$=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两个向量共线的性质，两角差的余弦公式的应用，余弦定理，属于中档题．