题目内容
已知函数.
⑴求函数的单调区间;
⑵如果对于任意的,总成立,求实数的取值范围.
⑴单调递增区间为,单调递减区间⑵实数的取值范围是
解析试题分析:⑴求出函数的导数令其大于零得增区间,令其小于零得减函数;⑵令,要使总成立,只需时,对讨论,利用导数求的最小值.
试题解析:(1) 由于,所以
. (2分)
当,即时,;
当,即时,.
所以的单调递增区间为,
单调递减区间为. (6分)
(2) 令,要使总成立,只需时.
对求导得,
令,则,()
所以在上为增函数,所以. (8分)
对分类讨论:
① 当时,恒成立,所以在上为增函数,所以,即恒成立;
② 当时,在上有实根,因为在上为增函数,所以当时,,所以,不符合题意;
③ 当时,恒成立,所以在上为减函数,则,不符合题意.
综合①②③可得,所求的实数的取值范围是. (12分)
考点:利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数.
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