Question

16．对于函数y=f（x），若存在x₀∈D使得f（-x₀）+f（x₀）=0则称函数f（x）为“次奇函数”且x₀为该函数的一个“次奇点”，给出下列命题：
①奇函数必为“次奇函数”；
②存在某个偶函数，它是“次奇函数”；
③若函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{5}）$为“次奇函数”，则该函数的所有“次奇点”为$\frac{kπ}{2}（k∈Z）$；
④若函数$f（x）=lg\frac{a+x}{1-x}$为“次奇函数”，则a=±1
⑤若函数f（x）=4^x-m•2^x+1为“次奇函数”，则$m≥\frac{1}{2}$．其中的正确命题是①②④⑤（写出你认为正确的所有命题的序号）

Answer 1

分析 根据已知中若存在x₀∈D使得f（-x₀）+f（x₀）=0则称函数f（x）为“次奇函数”且x₀为该函数的一个“次奇点”，逐一分析五个结论的真假，可得答案．

解答 解：①奇函数f（x）中，当x₀∈D时，f（-x₀）+f（x₀）=0恒成立，故必为“次奇函数”，故①正确；
②存偶函数f（x）=|x|-1，易得当x₀=±1时，使得f（-x₀）+f（x₀）=0，它是“次奇函数”，故②正确；
③若函数$f（x）=sin（x+\frac{π}{5}）$为“次奇函数”，则$sin（-x+\frac{π}{5}）+sin（x+\frac{π}{5}）$=0有解：
则$sin（x-\frac{π}{5}）=sin（x+\frac{π}{5}）$有解，则由$（x-\frac{π}{5}）-（x+\frac{π}{5}）$=-$\frac{2π}{5}$得：$（x-\frac{π}{5}）+（x+\frac{π}{5}）=2kπ+π，k∈Z$，
解得：x=kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），即则该函数的所有“次奇点”为kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），故③错误；
④若函数$f（x）=lg\frac{a+x}{1-x}$为“次奇函数”，则$lg\frac{a-x}{1+x}+lg\frac{a+x}{1-x}$=0有解：
则$\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{1-{x}^{2}}=1$，则a=±1，故④正确；
⑤若函数f（x）=4^x-m•2^x+1为“次奇函数”，则4^-x-m•2^-x+1+4^x-m•2^x+1=0有解：
令t=2^-x+2^x，（t≥2），则t²-2mt-2=0有不小于2的根，
即m+$\sqrt{{m}^{2}+2}$≥2，解得：则$m≥\frac{1}{2}$，故⑤正确；
故正确的命题的序号是：①②④⑤，
故答案为：①②④⑤

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．