题目内容
4.已知关于x的不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0.(1)当m=$\frac{10}{3}$时,求不等式的解集.
(2)若不等式对一切x∈R恒成立,求实数m取值范围.
分析 (1)将m=$\frac{10}{3}$代入,即可列出关于x的不等式,求解即可得到不等式的解集;
(2)对m进行分类讨论,利用二次函数的性质列出不等关系,求解即可得到实数m的取值范围.
解答 解:(1)当m=$\frac{10}{3}$时,不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,
可化为:$\frac{4}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x-4<0,即x2+2x-3<0
∴-3<x<1,
∴关于x的不等式f(x)≥-1的解集为{x|-3<x<1};
(2)若(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,
①当m-2=0,即m=2时,-4<0对x∈R恒成立,
∴m=2满足题意;
②当m≠2时,
则由$\left\{\begin{array}{l}m-2<0\\△=4(m-2)^{2}+16(m-2)<0\end{array}\right.$,解得-2<m<2.
综合①②,可得-2<m≤2,
故实数m的取值范围为(-2,2]
点评 本题考查了一元二次不等式的解法,函数的恒成立问题,同时考查了二次函数的相关性质,研究二次函数时,要抓住开口方向,对称轴以及判别式等.对于恒成立问题解决的方法常有:参变量分离法,求最值法,数形结合法.属于中档题.
练习册系列答案
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