题目内容
【题目】已知数列
、
满足
，且
（1）令
证明：
是等差数列，
是等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）求数列和的前n项和公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
，
；（3）数列
的前
项和为
，数列
的前项和为
.
【解析】
（1）在等式
中将两式分别相加或相减，利用等差数列的定义可证明出数列
是等差数列，利用等比数列的定义可证明出数列
为等比数列；
（2）求出数列、的通项公式，可建立关于
、
的方程组，解出、，即可得出数列和的通项公式；
（3）利用分组求和法可求出数列和的前项和.
（1）
，
将上述两等式相加得
，
即
，因此
，又
，
所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
.
又由题设得
，即
，
因此
，又
，
所以数列是首项为
，公比为
的等比数列，
；
（2）由（1）知
，
，即
，
解得，；
（3）设数列和的前项和分别为
、
，
则
，同理可得.
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