Question

【题目】已知数列、满足，且

（1）令证明：是等差数列，是等比数列；

（2）求数列和的通项公式；

（3）求数列和的前n项和公式．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）数列的前项和为，数列的前项和为.

【解析】

（1）在等式中将两式分别相加或相减，利用等差数列的定义可证明出数列是等差数列，利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列；

（2）求出数列、的通项公式，可建立关于、的方程组，解出、，即可得出数列和的通项公式；

（3）利用分组求和法可求出数列和的前项和.

（1），

将上述两等式相加得，

即，因此，又，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，.

又由题设得，即，

因此，又，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，；

（2）由（1）知，，即，

解得，；

（3）设数列和的前项和分别为、，

则，同理可得.