题目内容
【题目】如图所示的几何体中,.
(1)求证:平面ABCD;
(2)若,点F在EC上,且满足EF=2FC,求二面角F—AD—C的余弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
(1)在中,根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出
,再由
,
得出平面ABE.,由线面垂直的性质得
,再根据线面垂直的判定定理得证;
(2)在以B为原点,建立空间直角坐标系,得出点
的坐标,求出面
的法向量,由(1)得
平面ABCD,所以
为平面ABCD的一个法向量,再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.
(1)在中,
由余弦定理可得
所以,所以
所以
是直角三角形,
.
又,所以
平面ABE.
因为平面ABE,所以
,因为
,
所以平面ABCD.
(2)由(1)知,平面ABE,所以平面
平面AEB,在平面ABE中,过点B作
,则
平面BEC,如图,以B为原点,BE,BC所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
,
则,
因为,所以
,易知
,
设平面ADF的法向量为
则
即令
则
所以为平面ADF的一个法向量,
由(1)知平面ABCD,所以
为平面ABCD的一个法向量.
设二面角的平面角为
,
由图知为锐角,则
所以二面角的余弦值为
.
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