题目内容

已知函数是偶函数。
(1)求的值;
(2)设函数,其中实数。若函数的图象有且只有一个交点,求实数的取值范围。

(1);(2)

解析试题分析:(1)根据偶函数定义可得到关于k的方程,根据对应系数相等可解出k的值。(2)由题意分析可知将函数的图象有且只有一个交点的问题 为方程只有一个根的问题。将整理变形并结合换元法可转化为,在上只有一个解的问题。因为此二次函数对称轴是变量,属于动轴定区间问题。分情况讨论,详见解析。
试题解析:解:(1)∵ 由题有恒成立 …2分
恒成立,整理得,所以
(2)由函数的定义域得, 由于
所以      即定义域为
∵函数的图象有且只有一个交点,即方程
上只有一解。
即:方程上只有一解
,则,上式可变形为,在上只有一个解。
时,舍。
时,记,其图像的对称轴为,所以上单调递减,而。所以方程上无解。
时,记,其图象的对称轴
所以只需,即,此恒成立
∴此时的范围为
综上所述,所求的取值范围为
考点:奇偶性,数形结合思想,二次函数的动轴定区间问题

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