题目内容
【题目】如图①，在平行四边形
中，
，
，
，
为
中点.将
沿
折起使平面
平面
，得到如图②所示的四棱锥
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）利用勾股定理求得
，即可由面面垂直推证线面垂直，再由线面垂直推证面面垂直；
（2）以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得
的方向向量，以及平面
的法向量，即可容易求得线面角.
（1）证明：在图①中连接
，
因为
，
，
，为
中点，
故可得
为等边三角形，故可得
；
在
中，由余弦定理可得
，解得
.
又
，故可得
.
，
在图②中，
平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
又
平面
，
平面
平面.
（2）以为坐标原点，
为
轴，
为
轴，
过点垂直于平面的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
故可得
.
设平面
的一个法向量
，
由
，
，令
，
可得
，
设直线
与平面所成角的正弦值为
，
则
.
直线与平面所成角的正弦值为.
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