Question

【题目】如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.

①求证：直线经过一定点；

②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出实数的范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）①详见解析；②存在，.

【解析】

试题（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得；又椭圆C1右焦点到右准线的距离为，可得，及a2=b2+c2即可得出；（2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1，与椭圆的方程联立可得点P的坐标，同理可得点M的坐标，进而得到直线PM的方程，可得直线PM过定点．

②由直线PE的方程与圆的方程联立可得点A的坐标，进而得到直线AB的方程．假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则圆心到二直线的距离都小于半径．即（i），（ii）．得出m的取值范围存在即可．

试题解析：（Ⅰ ）依题意，，则，

∴，又，∴，则，

∴椭圆方程为．

（2）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，

由得或

∴，

用去代，得，

方法1：，

∴：，即，

∴直线经过定点．

方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，

当时，，，此时直线经过轴上的点，

∵

∴，∴、、三点共线，即直线经过点，

综上所述，直线经过定点．

②由得或∴，

则直线：，

设，则，直线：，直线：，

假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，

则由（）得对恒成立，则，

由（）得，对恒成立，

当时，不合题意；当时，，得，即，

∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为．

解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．