Question

4．双曲线中心在原点，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点，已知|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则e=$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

解答 解：不妨设OA的倾斜角为锐角
若向量$\overrightarrow{BF}$与$\overrightarrow{FA}$同向，
∴渐近线l₁的倾斜角为（0，$\frac{π}{4}$），
∴渐近线l₁斜率为：k=$\frac{b}{a}$＜1，
∴$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=e²-1＜1，
∴1＜e²＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∴|OB|-|OA|=$\frac{1}{2}$|AB|，
∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列
∴|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=$\frac{3}{4}$|AB|
∴在直角△OAB中，tan∠AOB=$\frac{4}{3}$，
由对称性可知：OA的斜率为k=tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$∠AOB），
∴$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴2k²+3k-2=0，
∴k=$\frac{1}{2}$（k=-2舍去）；
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=e²-1=$\frac{1}{4}$，
∴e²=$\frac{5}{4}$，
∴e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
同理，向量$\overrightarrow{BF}$与$\overrightarrow{FA}$时，e=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．