题目内容
已知椭圆两个焦点
的坐标分别为
,
,并且经过点
.过左焦点
,斜率为
的直线与椭圆交于
,
两点.设
,延长
,
分别与椭圆交于
两点.
(I)求椭圆的标准方程; (II)若点
,求
点的坐标;
(III)设直线
的斜率为
,求证:
为定值.












(I)求椭圆的标准方程; (II)若点



(III)设直线



解:(I)因为椭圆的焦点在
轴上,所以设它的标准方程为
,
由椭圆的定义知,
. ----------------2分
所以
,
,
所以所求椭圆的标准方程为
. ---------------4分
(II)直线
的方程为
,
代入椭圆方程,得
解得
(舍),或
. --------------6分
代入直线
的方程,得
,
所以
点的坐标为
. ---------------7分
(III)设
,
,
,
,
直线
的方程为
,所以
.
代入椭圆方程,消去
得:
. --------------8分
又因为点
在椭圆上,有
方程化简为
. -----------------9分
则
,且
,所以
.
代入直线
的方程,得
,所以
. -------------10分
同理
,


. ------------------12分
因为
三点共线,所以
.
即
. --------------------13分
所以
,而
.
所以
为定值. -------------------14分


由椭圆的定义知,

所以


所以所求椭圆的标准方程为

(II)直线


代入椭圆方程,得

解得


代入直线


所以


(III)设




直线



代入椭圆方程,消去


又因为点


方程化简为

则



代入直线



同理




因为


即

所以


所以

略

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