Question

等比数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分别是表第一、二、三行中的某一个数，且a₁，a₂，a₃中的任何两个数不在表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	6	4	14
第三行	9	8	18

（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{b_n}满足bn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)，设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由表格可看出a₁，a₂，a₃分别是2，6，18，由此可求出{an}的首项和公比，继而可求通项公式．
（2）由函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，知f（

1

2

）=

1

2

，由bn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)，知bn=

n+1

2

．c_n=a_nb_n=（n+1）•3^n-1，由错位相减法能够求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）当a₁=3时，不合题意
当a₁=2时，当且仅当a₂=6，a₃=18时符合题意，
当a₁=10时，不合题意
因此a₁=2，a₂=6，a₃=18，所以q=3，
所以an=2×3n-1．
（2）∵函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，
∴f（

1

2

）+f（1-

1

2

）=1，解得f（

1

2

）=

1

2

，
∴b₁=f（0）+f（1）=1，
b2=f(0)+f(

1

2

)+f(1)=1+

1

2

=

3

2

，
b3=f(0)+f(

1

3

)+f(

2

3

)+f(1)=2，
当n为奇数时，bn=

n+1

2

；当n为偶数时，bn=

n

2

+

1

2

=

n+1

2

，
∴bn=

n+1

2

．
∵an=2×3n-1，bn=

n+1

2

，
∴c_n=a_nb_n=（n+1）•3^n-1，
∴数列{c_n}的前n项和S_n=c₁+c₂+…+c_n=2+3×3+4×3²+…+n•3^n-2+（n+1）•3^n-1，①
3S_n=2×3+3×3²+4×3³+…+n•3^n-1+（n+1）•3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=2+3+3²+3³+…+3^n-1-（n+1）•3ⁿ
=2+

3(1-3n-1)

1-3

-（n+1）•3ⁿ
=2-

3

2

+

3n

2

-（n+1）•3ⁿ
=

1

2

-

2n+1

2

•3n，
∴Sn=

2n+1

4

•3n-

1

4

．

点评：本题考查数列的通项公式和数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法、等比数列前n项和公式、数列的函数性质的灵活运用．