Question

【题目】火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物。建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75~150米，底边直径65~120米. 双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高.（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略.）

（1）如图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100，俯视图为三个同心圆，其半径分别40，，30，试根据上述尺寸计算视图中该双曲线的标准方程（为长度单位米）；

（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，，绕轴旋转形成的旋转体的体积多少？（用表示）.（用积分计算不得分）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4（底部），最薄处厚度为0.3（喉部，即左右顶点处），试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是？并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是多少；（计算时取3.14159，保留到个位即可）

（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内.超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加，现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元.试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）.

Answer 1

【答案】（1），；（2），，；（3）万元.

【解析】

（1）由最窄处距离可求得；根据时，；时，，可构造方程求得，从而得到双曲线方程；（2）首先求得双曲线旋转体的体积和内层双曲线方程，计算得到体积差的函数关系式，分别代入和可求得体积差，加和得到所求体积；（3）由（2）可推得高度时的几何体体积；将在高度米以内的薄壳体积的建筑费用分为高度米以内和高度在米之间两类分别计算；设超过米部分，每高米的环形建筑物的体积构成数列，其相应的每立方米的施工费用对应为等差数列，易得通项公式；由双曲线对称性可知，进而可计算出此部分对应的建筑费用；综合三部分的费用即可得到结果.

（1）最窄处即双曲线两顶点间

设双曲线的标准方程为：

由题意知：当（地面半径）时对应的值是；当时，的值为

，解得：

双曲线的标准方程是，

（2）高为的双曲线旋转体的体积是：

其旋转体相当于一个底面半径为，高为的圆柱与底面半径为，高为倒立圆锥的体积之和.

计算内层双曲线方程为：

高为时双曲线旋转体的体积差为：

当与时，计算上述体积差，分别为，，合计约为立方米

冷却塔的建筑体积约为立方米

（3）由（2）知高为的双曲线冷却塔壳体体积为立方米

立方米

当高度时，其几何体体积为：

于是在高度米以内的薄壳体积的建筑费用：

第一部分，高度米以内的体积：

相应施工费用为：（元）

第二部分，高度在米之间的部分体积

相应施工费用为：（元）

设超过米部分，每高米的环形建筑物的体积构成数列，其相应的每立方米的施工费用对应为等差数列

注意到双曲线的对称性，本题中的冷却塔喉部在高度米处，其上方米，下方处恰为高度米处，于是

又数列是等差数列

这部分费用为：

其中为（2）中时壳体的体积，其值约为

这部分施工费用约为（元）

综上，本题中所求的施工总费用元，约万元