题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥中,
平面
是
的中点,
是
上的点且
为
边
上的高.
(1)证明: 平面
;
(2)若,求三棱锥
的体积;
(3)在线段上是否存在这样一点
,使得
平面
?若存在,说出
点的位置.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
中点.
【解析】试题分析:(1)平面
,
为
中
边上的高,
,由线面垂直的判定定理能够证明
平面
;(2)连接
,取
中点
,连接
是
中点,
,
平面
,
平面
,由根据棱锥的体积公式能够求出三棱锥
的体积;(3)取
的中点
,连接
,则因为
是
的中点,先证明
,再证明以
平面
,可得
面
,即
与
重合时符合题意.
试题解析:(1),又
平面
,
平面
,
又
,
平面
(2)是
的中点,
到平面
的距离
等于点
到平面
距离的一半,即
=
,又因为
,所以三棱锥
;
(3)取的中点
,连接
、
,则因为
是
的中点,所以
,且
,又因为
且
,所以
且
,所以四边形
是平行四边形,所以
,由(1)知
平面
,所以
,又因为
,所以
,因为
,所以
平面
,因为ED//DQ,所以
面
.M为PB中点.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及棱锥的体积公式,属于难题.解答空间几何体中垂直关系时,一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化,转化时要正确运用有关的定理,找出足够的条件进行推理;证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推论;(3)利用面面平行的性质
;(4)利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
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