Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且过点（0，1）．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过点A作互相垂直的直线分别交椭圆C于M、N．
①若P是椭圆C上任意一点，P到直线AM与AN的距离分别为d₁、d₂．求d₁²+d₂²的最大值；
②试问：直线MM是否过定点，若是，求出定点坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，b=1，可得a，则椭圆C的方程可求；
（2）①设P（x₀，y₀）（0≤|y₀|≤1），由直线AM⊥AN，可得d₁²+d₂²=PA²=x₀²+（y₀-1）²，再由点P在椭圆上转化为y₀的函数，再利用配方法求得d₁²+d₂²的最大值；
②由题意可知AM的斜率存在且不为0，设出直线AM的方程，和椭圆方程联立求得M的坐标，同理求出N的坐标，写出MN所在直线方程，可证得直线MM过定点（0，-$\frac{3}{5}$）．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，且b=1，得a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）①设P（x₀，y₀）（0≤|y₀|≤1），
∵AM⊥AN，则d₁²+d₂²=PA²=x₀²+（y₀-1）²，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
∴d₁²+d₂²=-3（y₀+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
∵-1≤y₀≤1，∴当y₀=-$\frac{1}{3}$时，d₁²+d₂²取得最大值为$\frac{16}{3}$；
②直线MM过定点（0，-$\frac{3}{5}$）．事实上，
设直线AM的方程为y=kx+1（k≠0），
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kx=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁=$\frac{-8k}{4{k}^{2}+1}$，x₂=0，
∴x_M=$\frac{-8k}{4{k}^{2}+1}$，y_M=$\frac{1-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$．
用-$\frac{1}{k}$代替上面的k，可得x_N=$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$，y_N=$\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$．
∴直线MN：y-$\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{4}-1}{5{k}^{3}+5k}$（x-$\frac{8k}{4+{k}^{2}}$），
由x=0，得y=$\frac{{k}^{4}-1}{5{k}^{3}+5k}•（-\frac{8k}{4+{k}^{2}}）+\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$=$-\frac{3}{5}$．
∴直线PQ经过定点（0，-$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和方程思想方法．考查了推理能力与计算能力，属于难题．