Question

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂
②f（x）的最小正周期是2π
③在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称．
其中真命题是（　　）

• A、①②④
• B、①③
• C、②③
• D、③④

Answer 1

分析：先根据二倍角公式将函数f（x）进行化简，根据正弦函数的性质和已知判断①；根据最小正周期的求法可判断②；根据正弦函数的单调性可判断③；再由正弦函数的对称性可判断④．

解答：解：∵f（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x
若f（x₁）=-f（x₂），则sin2x₁=-sin2x₂=sin（-2x₂）
∴2x₁=-2x₂+2kπ时满足条件，即x₁+x₂=kπ可以，故①不正确；
由函数f（x）=

1

2

sin2x知周期T=

2π

2

=π，故②不正确；
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，
当k=0时，x∈[-

π

4

，

π

4

]，f（x）是增函数，故③正确；
将x=

3π

4

代入函数f（x）得，f（

3π

4

）=-

1

2

为最小值，
故f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称，④正确．
故选D．

点评：本题主要考查正弦函数的二倍角公式和正弦函数的性质．基础知识的熟练掌握是解题的关键，一定要将基础打牢．