Question

1．如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．
（1）求证：AF⊥EF．
（2）若PA=2，求三棱锥P-ADF的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，从而PA⊥BC，进而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能证明AF⊥EF．
（2）利用等体积转换，求三棱锥P-ADF的体积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC，
∴PA⊥平面ABCD，又BC?面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，
∴BC⊥AF，
∵△PAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，F是PB中点，
∴AF⊥PB，
又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
∵EF?平面PBC，∴AF⊥EF．
（2）解：由（1）知AD∥BC，BC⊥平面PAB，
则AD⊥平面PAB，即AD⊥平面PAF         
又∵PA=AB=AD=2，PA⊥AB，PA⊥AD，
∴AB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AF=PF=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{2}$．
又AF⊥PB，∴S_△PAF=$\frac{1}{2}×PF×AF$=1
∴V_P-ADF=V_D-PAF=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$
即三棱锥P-ADF的体积为$\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．