题目内容
【题目】已知椭圆
的四个顶点组成的四边形的面积为
，且经过点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若椭圆
的下顶点为
，如图所示，点
为直线
上的一个动点，过椭圆
的右焦点
的直线
垂直于
，且与
交于
两点，与
交于点
，四边形
和
的面积分别为
.求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形，其面积为
， 
，又
在椭圆
上，所以
，解方程组得
， 
（2）先确定面积计算方法： 
， 
，再确定计算方向：设
，根据
两点间距离公式求
，根据两直线交点求
点横坐标，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理求弦长
，最后根据
表达式形式，确定求最值方法（基本不等式求最值）
试题解析：
（1）因为
在椭圆
上，所以
，
又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为
，所以
，
解得
，所以椭圆
的方程为
（2） 由（1）可知
，设
，
则当
时， 
，所以
，
直线
的方程为
，即
，
由
得
，
则
，
，
，
又
，所以
，
由
，得
，所以
，
所以
，
当
，直线
， 
， 
， 
， 
，
所以当
时， 
.
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