Question

已知a，b∈R⁺，且2a+b=1则2

ab

-4a2-b2的最大值是

2 -1

2

．

Answer 1

分析：由2a+b=1 得 4a²+b²=1-4ab，从而得到S=2

ab

-4a2-b2=4ab+2

ab

-1，令

ab

=t＞0，建立S关于t的二次函数，利用二次函数性质可得S的最大值．

解答：解：∵2a+b=1，∴4a²+b²=1-4ab，
∴S=2

ab

-4a2-b2=4ab+2

ab

-1，
令

ab

=t＞0，
则 S=4 (t+

1

4

)2-

5

4

，
∵2a+b=1，∴1≥2

2ab

⇒0＜t≤

2

4

故 当t=

2

4

时，S有最大值为：

2 -1

2

故答案为：

2 -1

2

．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、一元二次不等式的解法、二次函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查换元的思想、化归与转化思想．属于中档题．