Question

19．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$是椭圆C上一点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线l交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$是椭圆C上一点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆C上，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$
又∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，
故所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…5分
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{1}{4}＞0$与$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$矛盾，故直线l的斜率存在且不为零
设直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（4k²+1）x²-8k²x+4（k²-1）=0，∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-1）}}{{4{k^2}+1}}$，
∴${y_1}{y_2}={k^2}[{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1]=\frac{{-3{k^2}}}{{4{k^2}+1}}$；
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，得x₁x₂+y₁y₂=0，解得k=±2，
∴所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．…13分．

点评 本题考查椭圆的相关知识，考查运算能力、分析问题解决问题的能力，较难题．