题目内容

14.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若数列{an}满足an+Sn=An2+Bn+C,且A>0,则$\frac{1}{A}$+B-C的最小值为2$\sqrt{3}$.

分析 由等差数列的通项公式和求和公式代入已知等式可得$\frac{d}{2}=A$,$\frac{d}{2}+{a}_{1}$=B,a1-d=C,从而可求$\frac{1}{A}$+B-C=$\frac{2}{d}+\frac{3d}{2}$,利用基本不等式即可求得最小值.

解答 解:令an=a1+(n-1)d,
Sn=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}×n$=na1+$\frac{n}{2}$(n-1)d,
又an+Sn=An2+Bn+C,
∴a1+(n-1)d+na1+$\frac{d}{2}$n2-$\frac{d}{2}n$=An2+Bn+C,
∴解得:$\frac{d}{2}=A$,$\frac{d}{2}+{a}_{1}$=B,a1-d=C,
∴$\frac{1}{A}$+B-C=$\frac{2}{d}+\frac{d}{2}+{a}_{1}-{a}_{1}+d$=$\frac{2}{d}+\frac{3d}{2}$,
∵A>0,∴d>0,
∴$\frac{2}{d}+\frac{3d}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{d}×\frac{3d}{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∴最小值为2$\sqrt{3}$.

点评 本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式的应用,考查了基本不等式的应用,属于基本知识的考查.

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