题目内容
14．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若数列{an}满足an+Sn=An2+Bn+C，且A＞0，则$\frac{1}{A}$+B-C的最小值为2$\sqrt{3}$．分析 由等差数列的通项公式和求和公式代入已知等式可得$\frac{d}{2}=A$，$\frac{d}{2}+{a}_{1}$=B，a1-d=C，从而可求$\frac{1}{A}$+B-C=$\frac{2}{d}+\frac{3d}{2}$，利用基本不等式即可求得最小值．
解答 解：令an=a1+（n-1）d，
Sn=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}×n$=na1+$\frac{n}{2}$（n-1）d，
又an+Sn=An2+Bn+C，
∴a1+（n-1）d+na1+$\frac{d}{2}$n2-$\frac{d}{2}n$=An2+Bn+C，
∴解得：$\frac{d}{2}=A$，$\frac{d}{2}+{a}_{1}$=B，a1-d=C，
∴$\frac{1}{A}$+B-C=$\frac{2}{d}+\frac{d}{2}+{a}_{1}-{a}_{1}+d$=$\frac{2}{d}+\frac{3d}{2}$，
∵A＞0，∴d＞0，
∴$\frac{2}{d}+\frac{3d}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{d}×\frac{3d}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴最小值为2$\sqrt{3}$．
点评 本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式的应用，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查．
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