Question

13．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD的中心为O，E为A₁B₁中点，F为CC₁中点，如图．
（1）求证：A₁O⊥BD；
（2）求证：A₁O⊥平面BDF；
（3）求证：平面AD₁E⊥平面ACD₁．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理证明DB⊥平面A₁ACC₁ ，证得A₁O⊥DB．
（2）再用勾股定理证明A₁O⊥OF，这样，A₁O就垂直于平面GBD内的两条相交直线，故A₁O⊥平面BDF．
（3）连接A₁D交AD₁于H，连接EH，B₁D，证明B₁D⊥平面ACD₁，可得EH⊥平面ACD₁，即可证明平面AD₁E⊥平面ACD₁．

解答 证明：（1）∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB；
（2）连接OF，则在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，tan∠FOC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AA₁O=∠GOC，
则∠A₁OA+∠FOC=90°．∴A₁O⊥OF．
∵OF∩DB=O，∴A₁O⊥平面BDF；
（3）连接A₁D交AD₁于H，连接EH，B₁D，则
∵E为A₁B₁中点，
∴EH∥B₁D，
∵B₁B⊥平面ABCD，AC⊥BD，
∴AC⊥B₁D，
同理，AD₁⊥B₁D，
∵AD₁∩AC=A，
∴B₁D⊥平面ACD₁，
∵EH∥B₁D，
∴EH⊥平面ACD₁，
∵EH?平面AD₁E，
∴平面AD₁E⊥平面ACD₁．

点评 本题考查证明直线和平面垂直的方法，在其中一个平面内找出2条相交直线和另一个平面垂直是关键．