Question

5．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且对每个n∈N^*，a_n，a_n+1是方程x²+2nx+b_n=0的两根，则b₁₀=189．

Answer 1

分析 a_n，a_n+1是方程x²+2nx+b_n=0的两根，可得a_n+a_n+1=-2n，a_n•a_n+1=b_n．于是a_n+2-a_n=-2．因此数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为-2，首项分别为1，-3．即可得出．

解答 解：∵a_n，a_n+1是方程x²+2nx+b_n=0的两根，
∴a_n+a_n+1=-2n，a_n•a_n+1=b_n．
∴a_n+2-a_n=-2．
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为-2，首项分别为1，-3．
∴a_2k-1=1-2（n-1）=3-2n，a_2k=-3-2（k-1）=-1-2k，
∴b₁₀=a₁₀a₁₁=（-1-20）×（3-12）=189．
故答案为：189．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力能力与计算能力，属于中档题．