Question

（本题满分14分）设函数（1）当时，求的最大值；（2）令，（0≤3），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值。

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  ≥ （Ⅲ）

（1）依题意，知的定义域为（0，+∞）当时，，
（2′）
令=0，解得.（∵）因为有唯一解，所以
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。
所以的极大值为，此即为最大值。（5′）
（2），，则有≤，在上恒成立，
所以≥，（8′）
当时，取得最大值，所以≥（10′）
（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则.                        令，得.
因为，，所以（舍去），，
当时，，在（0，）上单调递减，
当时，，在（，+∞）单调递增
当时，=0，取最小值.（12′）
则既
所以，因为，所以（*）
设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解。
因为，所以方程（*）的解为，即，解得.（14′）