Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），an= （n∈N*），bn= （n∈N*），考查下列结论：
①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列{an}为等差数列；④数列{bn}为等比数列．
以上命题正确的是 ．

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：①因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0，故①错误，
②令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；
令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），
代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），
故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数．故②正确，
③若 ，
则an﹣an﹣1= ﹣ = = = 为常数，
故数列{an}为等差数列，故③正确，
④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），
∴当x=y时，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），
则f（22）=4f（2）=8=2×22 ，
f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23 ，
…
则f（2n）=n×2n ，
若 ，
则 = = = =2为常数，
则数列{bn}为等比数列，故④正确，
所以答案是：②③④．