题目内容

10.已知函数f(x)=sin(${\frac{π}{2}$-x)sinx-$\sqrt{3}$cos2x.
(I)求f(x)的最小正周期和最大值;
(II)讨论f(x)在[${\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}}$]上的单调性.

分析 (Ⅰ)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性和最值求得f(x)的最小正周期和最大值.
(Ⅱ)根据2x-$\frac{π}{3}$∈[0,π],利用正弦函数的单调性,分类讨论求得f(x)在$[{\frac{π}{6},\frac{2π}{3}}]$上的单调性.

解答 解:(Ⅰ)函数f(x)=sin(${\frac{π}{2}$-x)sinx-$\sqrt{3}{cos^2}$x=cosxsinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1+cos2x)
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin(2x-$\frac{π}{3}$)-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
故函数的周期为$\frac{2π}{2}$=π,最大值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(Ⅱ)当x∈$[{\frac{π}{6},\frac{2π}{3}}]$ 时,2x-$\frac{π}{3}$∈[0,π],故当0≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$时,即x∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{12}$]时,f(x)为增函数;
当$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤π时,即x∈[$\frac{5π}{12}$,$\frac{2π}{3}$]时,f(x)为减函数.

点评 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性和最值,正弦函数的单调性,属于中档题.

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