题目内容
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．
（1）求证：BE=EB1；
（2）若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．
（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足．
①∵
∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵
∴BF⊥侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．
③∵
∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，
④∵
∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，
⑤∵
∴FG=
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分析：本题考查的知识点是棱柱的结构特征及二面角及其度量，
（1）要证BE=EB1；即证E为BB1的中点；由截面A1EC⊥侧面AC1．我们可以在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，则易证FG=BE，我们可转化为FG=
AA1，由中位线性质，我们易得答案．
（2）分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．我们易得∠CA1C1是平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角的平面角，解三角形CA1C1即可得到答案．
（1）要证BE=EB1；即证E为BB1的中点；由截面A1EC⊥侧面AC1．我们可以在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，则易证FG=BE，我们可转化为FG=
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（2）分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．我们易得∠CA1C1是平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角的平面角，解三角形CA1C1即可得到答案．
解答：
解：（Ⅰ）①面A1EC⊥侧面AC1
②面ABC⊥侧面AC1
③BE∥侧面AC1
④BE∥AA1
⑤AF=FC
（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．
∵EB1∥CC1，EB1=
BB1=
CC1，
∴DB1=
DC1=B1C1=A1B1，
∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°，
∠DA1B1=∠A1DB1=
（180°-∠DB1A1）=30°，
∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即DA1⊥A1C1
∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C，
所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°，
∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45°
解：（Ⅰ）①面A1EC⊥侧面AC1
②面ABC⊥侧面AC1
③BE∥侧面AC1
④BE∥AA1
⑤AF=FC
（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．
∵EB1∥CC1，EB1=
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∴DB1=
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∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°，
∠DA1B1=∠A1DB1=
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∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即DA1⊥A1C1
∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C，
所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°，
∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45°
点评：本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力． 求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠CA1C1为所求二面角的平面角，通过解∠CA1C1所在的三角形求得∠CA1C1．其解题过程为：作∠CA1C1→证∠CA1C1是二面角的平面角→计算∠CA1C1，简记为“作、证、算”．
练习册系列答案
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B、
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C、
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| D、1 |
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