Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为a，侧棱AA₁长为ka（k＞0），E为侧棱BB₁的中点，记以AD₁为棱，EAD₁，A₁AD₁为面的二面角大小为θ．
（1）是否存在k值，使直线AE⊥平面A₁D₁E，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（2）试比较tanθ与2

2

的大小．

Answer 1

分析：（1）这是一个探索性问题，对于此类问题的一般解法是先假设存在，再通过题中位置关系建立等式，看看方程有没有解，从而得出结论．设存在k值，满足题中的条件，根据面面垂直关系得方程2[a2+(

ka

2

)2]=(ka)2，从而解出k=2，符合题意．
（2）取A₁A中点M，连接EM．在Rt△AA₁D₁中利用比例线段，得出MH的长度，再在Rt△EMH中利用正切的定义建立tanθ与k的关系式，最后讨论k的取值，从而得出tanθ与2

2

的三种大小关系．

解答：解：（1）存在k=2，使得AE⊥平面A₁D₁E
证明：若AE⊥平面A₁D₁E，则AE⊥A₁E，于是AE²+A₁E²=AA₁²，
即2[a2+(

ka

2

)2]=(ka)2，解得k=2，
∴存在k=2，使得AE⊥平面A₁D₁E．
（2）取A₁A中点M，连接EM，在正四棱柱AC₁中，EM⊥平面ADD₁A₁，过M作MH⊥AD₁于H，连接EH，则∠MHE为二面角E-AD₁-A₁的平面角，即∠MHE=θ，
在Rt△AA₁D₁中，

MH

A1D1

=

AM

AD1

，即MH=

ka

2 1+k2

在Rt△EMH中，tanθ=

EM

MH

=2

1+ 1 k2

，
当0＜k＜1时，tanθ＞2

2

；
当k=1时，tanθ=2

2

；
当k＞1时，tanθ＜2

2

点评：本题主要考查了直线与平面的判定与性质，以及二二面角有关的立体几何知识，属于中档题．解决此题应该注意转化归和分类讨论等常用数学思想的应用．