题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)证明:当时,曲线
恒在曲线
的下方;
(3)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)求出,求出
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(2)要使得当
时,曲线
恒在曲线
的下方,即需证
,不妨设
, 则
,利用导数证明
取得最大值
即可得结果;(3)由题意可知
,可得不等式
可转化为
,构造函数
,分类讨论,利用导数研究函数的单调性,可证明
的最大值小于零,从而可得结论.
(1),
,
故切线方程是.
(2)要使得当时,曲线
恒在曲线
的下方,
即需证,
不妨设, 则
,
,
令,
恒成立,^
在
单调递减,v
又时,
;当
时,
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
即当时,
取得最大值
,
当
时,
,即
,
当
时,曲线
恒在曲线
的下方,
(3)由题意可知,
不等式
可转化为
,
构造函数,
,
在二次函数中,开口向下,对称轴
,
且过定点,解得
,
得(舍去),
.
①当时,即
(舍去)或
,
此时当时,
;
时,
;
当
时,
取得最大值,
记为,
由得
,
,
而,
当
时,
,即
在
上递减,
当时,
,即
在
上递增,
在
处取得最小值
,
只有
符合条件,此时解得
,不合条件,舍去;
②当时,解得
,
当时,
在
时取得最大值
,
即当时,
恒成立,原不等式恒成立;
③当时,解得
,
当时,
,
在
时取得最大值,记为
,
由(2)可知的图象与
的图象相同,
当
时,
,原不等式恒成立;
综上所述,实数的取值范围是
.
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