Question

20．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A、B两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M为线段AB的中点，l为准线，MM₁⊥l，AA₁⊥l，BB₁⊥l，M₁、A₁、B₁为垂足，求证：
（1）y₁y₂=-p²；
（2）以AB为直径的圆与l相切；
（3）A₁、O、B三点共线；
（4）FM₁⊥AB；
（5）设MM₁交抛物线于Q，则Q平分MM₁；
（6）$\frac{1}{AF}$+$\frac{1}{BF}$=$\frac{2}{P}$．

Answer 1

分析 （1）设AB：x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，利用根与系数的关系即可得出；
（2）利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系；
（3）证明${k}_{O{A}_{1}}$=-$\frac{{y}_{1}}{-\frac{p}{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{-\frac{p}{2}{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k_OB即可；
（4）${k}_{F{M}_{1}}$=$\frac{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}{p}$=m，k_AB=-$\frac{1}{m}$，可得FM₁⊥AB；
（5）求出MM₁的中点的横坐标即可；
（6）$\frac{1}{AF}$+$\frac{1}{BF}$=$\frac{1}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{{x}_{1}{x}_{2}+\frac{p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{p}^{2}}{4}}$，代入可得结论．

解答 证明：（1）设AB：x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px得y²-2pmy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²；
（2）由抛物线的定义可知，|AA₁|=|AF|，|BB₁|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AA₁|+|BB₁|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，
（3）由题意，A₁（-$\frac{p}{2}$，y₁），B（x₂，y₂），
∴${k}_{O{A}_{1}}$=-$\frac{{y}_{1}}{-\frac{p}{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{-\frac{p}{2}{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k_OB，
∴A₁、O、B三点共线；
（4）${k}_{F{M}_{1}}$=$\frac{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}}{p}$=m，k_AB=-$\frac{1}{m}$，
∴FM₁⊥AB；
（5）MM₁的方程为y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=mp，代入y²=2px，可得x=$\frac{1}{2}$m²p，
x₁+x₂=2m²p+p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
MM₁的中点的横坐标为x=$\frac{1}{2}$m²p，∴Q平分MM₁；
（6）$\frac{1}{AF}$+$\frac{1}{BF}$=$\frac{1}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{{x}_{1}{x}_{2}+\frac{p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{2{m}^{2}p+2p}{\frac{p}{2}•（2{m}^{2}p+p）+\frac{{p}^{2}}{2}}$=$\frac{2}{p}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．