题目内容
（2013•黑龙江二模）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，
）两点，O为坐标原点．
（I ）求椭圆C的方程；
（II）若以点O为端点的两条射线与椭圆c分别相交于点M，N且
丄
，证明：点O到直线MN的距离为定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
（I ）求椭圆C的方程；
（II）若以点O为端点的两条射线与椭圆c分别相交于点M，N且
| MN |
| ON |
分析：（I）利用椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，
）两点，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用向量知识及韦达定理，即可求得结论．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
（II）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用向量知识及韦达定理，即可求得结论．
解答：（I）解：∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，
）两点，
∴
，
∴a=2，b=
∴椭圆C的方程为
+
=1；
（II）证明：①当直线MN的斜率不存在时，其方程为x=±
，则点O到直线MN的距离为
；
②当直线MN的斜率存在时，其方程为y=kx+m，设M，N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
将y=kx+m代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，则x1+x2=-
，x1x2=
令△＞0，解得m2＜4k2+3，
∵
丄
，∴x1x2+y1y2=0，
∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
∴（1+k2）•
-km•
+m2=0，
∴m2=
＜4k2+3
∴点O到直线MN的距离为d=
=
，
由①②可得点O到直线MN的距离为定值
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
∴
|
∴a=2，b=
| 3 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）证明：①当直线MN的斜率不存在时，其方程为x=±
2
| ||
| 7 |
2
| ||
| 7 |
②当直线MN的斜率存在时，其方程为y=kx+m，设M，N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
将y=kx+m代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，则x1+x2=-
| 8km |
| 3+4k2 |
| 4m2-12 |
| 3+4k2 |
令△＞0，解得m2＜4k2+3，
∵
| MN |
| ON |
∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
∴（1+k2）•
| 4m2-12 |
| 3+4k2 |
| 8km |
| 3+4k2 |
∴m2=
| 12(k2+1) |
| 7 |
∴点O到直线MN的距离为d=
| |m| | ||
|
2
| ||
| 7 |
由①②可得点O到直线MN的距离为定值
2
| ||
| 7 |
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查点到直线的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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