Question

（2013•黑龙江二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．
（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；
（Ⅱ）求三棱锥P-ACE的体积．

Answer 1

分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得 BF∥平面ACE．
（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P-ACE的体积V_P-ACE=V_C-PAE=

1

3

S_△PAE•CD=

1

3

（

2

3

•

1

2

•PA•PD）•AB=

1

9

•PA•PD•AB，运算求得结果．

解答：解：（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．
设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．
（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．
三棱锥P-ACE的体积V_P-ACE=V_C-PAE=

1

3

S_△PAE•CD=

1

3

•（

2

3

•S_△PAD）•AB=

1

3

（

2

3

•

1

2

•PA•PD）•AB=

1

9

•PA•PD•AB=

1

9

•1•2•1=

2

9

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．