题目内容
6．已知数列{an}满足：a1=$\frac{2}{3}$，a2=2且3（an+1-2an+an-1）=2．（1）令bn=an-an-1，求证：{bn}是等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）为使$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{5}{2}$成立的最小的正整数n．
分析 （1）由3（an+1-2an+an-1）=2，变形为：an+1-an=an-an-1+$\frac{2}{3}$．可得bn+1-bn=$\frac{2}{3}$，利用等差数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得：an-an-1=$\frac{2}{3}n$．利用“累加求和”可得：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=$\frac{n（n+1）}{3}$，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”可得：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=3$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{3n}{n+1}$＞$\frac{5}{2}$，解出即可．
解答 （1）证明：∵3（an+1-2an+an-1）=2，变形为：an+1-an=an-an-1+$\frac{2}{3}$．
∵bn=an-an-1，∴bn+1-bn=$\frac{2}{3}$，
由a2-a1=a1-a0+$\frac{2}{3}$，
∴$2-\frac{2}{3}$=b1+$\frac{2}{3}$，解得b1=$\frac{2}{3}$．
∴{bn}是等差数列，首项为$\frac{2}{3}$，公差为$\frac{2}{3}$．
∴bn=$\frac{2}{3}+（n-1）×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}n$．
（2）解：由（1）可得：an-an-1=$\frac{2}{3}n$．
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$×2+$\frac{2}{3}×3$+…+$\frac{2}{3}n$
=$\frac{n（n+1）}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=3$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=3$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{3n}{n+1}$＞$\frac{5}{2}$成立，
则n＞5．
因此为使$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{5}{2}$成立的最小的正整数n=6．
点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | x | B． | y | C． | 1 | D． | 0 |